Bruchrechnen in Bildern — warum Kehrwert?

Zwei Brüche und eine Rechenart eingeben, und das Bild rechnet die Aufgabe Schritt für Schritt vor: Streifen werden in gleiche Teile geteilt, um einen gemeinsamen Nenner zu finden, ein Quadrat wird für die Multiplikation in zwei Richtungen markiert, und die Division wird auf drei Arten gezeigt, auch warum man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Zu jedem Schritt gibt es einen Satz zum Vorlesen, und die Rechnung daneben ändert sich gleichzeitig, sodass Eltern Hausaufgaben in einer Minute erklären können.

So geht’s

1. Wählen Sie „+ Addieren“, „− Subtrahieren“, „× Multiplizieren“ oder „÷ Dividieren“ und geben Sie „Erster Bruch“ und „Zweiter Bruch“ ein, zum Beispiel 3/4, 1 1/2 oder 2.
2. Drücken Sie „Nächster Schritt“ und lesen Sie den Satz vor, während sich das Bild ändert. „Vorheriger Schritt“ geht zurück, „Abspielen“ zeigt alle Schritte, und „Geschwindigkeit“ legt das Tempo fest.
3. Wählen Sie unter „Darstellung“ für Addition und Subtraktion „Streifen“, „Kreise“ oder „Zahlenstrahl“; unter „Ergebnis als“ wählen Sie „Gemischte Zahl“ oder „Unechter Bruch“.
4. Wählen Sie bei der Division einen „Rechenweg beim Dividieren“: „Wie oft passt es hinein?“, „Gemeinsamer Nenner“ oder „Warum mal Kehrwert“.
5. Drücken Sie „Neue Aufgabe“ für eine weitere. Ist „Üben: zuerst selbst rechnen“ angehakt, gibt das Kind ein Ergebnis ein und drückt „Prüfen“, bevor die Schritte erscheinen.
6. „Vollbild“ zeigt das Bild auf einem Bildschirm im Klassenzimmer; Pfeiltasten, Leertaste und F funktionieren ebenfalls.

So wird gerechnet

• Alle Werte sind exakt: Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, Ergebnisse werden mit dem größten gemeinsamen Teiler gekürzt, und Dezimalzahlen werden nie verwendet. Nenner gehen von 1 bis 24 und jede Zahl bis 20 Ganze.
• Gemischte Zahlen werden zuerst als unechte Brüche geschrieben: Ganze × Nenner + Zähler. Ein Bruch wie 2/4 wird so gezeichnet, wie er eingegeben wurde, und am Ende gekürzt.
• „Wie oft passt es hinein?“ wechselt zur Darstellung mit gemeinsamem Nenner, wenn mehr als 40 Kopien hingelegt werden müssten. Bei der Subtraktion muss der erste Bruch mindestens so groß wie der zweite sein.
• Die letzte Aufgabe und die gewählten Darstellungen werden nur in diesem Browser gespeichert.

Warum multipliziert man beim Teilen von Brüchen mit dem Kehrwert?

Schreiben Sie die Division als einen großen Bruch: 3/4 oben, 1/8 unten. Multipliziert man oben und unten mit derselben Zahl, ändert sich der Wert nicht. Wählen Sie die Zahl, die unten 1 ergibt, also den Kehrwert 8/1, denn 1/8 × 8 = 1. Oben wird daraus 3/4 × 8 = 6, und alles geteilt durch 1 bleibt gleich, also ist 3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8 = 6.

In der Ansicht „Warum mal Kehrwert“ werden beide Streifen um denselben Faktor gestreckt: Der Streifen für 1/8 wächst auf genau 1, und der Streifen für 3/4 wächst um dasselbe Maß auf 6. Die Ansicht „Wie oft passt es hinein?“ prüft das Ergebnis auf andere Weise: Sechs Stücke von 1/8 passen genau in 3/4.

Der Weg über den gemeinsamen Nenner liefert dasselbe Ergebnis ohne Kehrwert: 3/4 = 6/8, und 6 Achtel geteilt durch 1 Achtel ist 6 ÷ 1 = 6. Sind die Stücke gleich groß, heißt Brüche dividieren einfach, die Anzahlen der Stücke zu teilen.

Brüche mit verschiedenen Nennern addieren, mit Bildern erklärt

Stücke lassen sich nur zusammenzählen, wenn sie gleich groß sind. Bei 3/4 + 5/6 sind Viertel und Sechstel verschieden, also wird beides in Zwölftel geteilt, denn 12 ist die kleinste Zahl, die durch 4 und durch 6 teilbar ist (der Hauptnenner). Jedes Viertel wird in 3 geteilt, also 3/4 = 9/12, und jedes Sechstel in 2, also 5/6 = 10/12. Dann ergeben 9 + 10 = 19 Zwölftel, also 19/12 oder 1 7/12.

Ein häufiger Fehler ist, Zähler und Nenner jeweils zu addieren: 3/4 + 5/6 ist nicht 8/10. Das Bild zeigt, warum: 8/10 ist weniger als 1, aber schon 3/4 allein ist fast ein Ganzes, und 5/6 bringt fast noch ein Ganzes dazu.

Am Ende werden die Stücke, wo möglich, zu größeren Stücken zusammengefasst, also gekürzt. 1/6 + 1/3 = 3/6, und fasst man die Sechstel paarweise zusammen, ergibt das 1/2.

Brüche multiplizieren mit dem Flächenmodell

2/3 × 3/4 kann man als „3/4 von 2/3“ lesen. Das Quadrat wird in 3 Spalten geteilt und 2 davon werden gefärbt, das sind 2/3. Dann wird es in 4 Zeilen geteilt und 3 davon werden schraffiert. Der doppelt markierte Teil hat 2 × 3 = 6 kleine Stücke, und das ganze Quadrat hat 3 × 4 = 12, also ist das Produkt 6/12 = 1/2. Darum multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

Bei einer ganzen oder gemischten Zahl verwendet das Modell mehrere Quadrate: 1 1/2 × 2/3 reicht über zwei Quadrate, und die doppelt markierte Fläche besteht aus 3 × 2 = 6 Stücken der Größe 1/6, also 1.

Häufige Fragen

Warum nimmt man beim Teilen durch einen Bruch den Kehrwert?

Durch einen Bruch zu teilen ist dasselbe, wie mit seinem Kehrwert zu multiplizieren: Multipliziert man den Divisor mit seinem Kehrwert, wird er 1, und der Dividend muss mit derselben Zahl multipliziert werden. Zum Beispiel 3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8 = 6.

Wie addiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?

Beide mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner in gleich große Stücke teilen (Hauptnenner), dann die Zähler addieren. 3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.

Was bedeutet 3/4 ÷ 1/8?

Es fragt, wie viele Stücke von 1/8 in 3/4 passen. Genau sechs passen hinein, das Ergebnis ist also 6.

Warum ist Bruch mal Bruch kleiner?

Mit einem Bruch kleiner als 1 zu multiplizieren nimmt nur einen Teil einer Zahl. 3/4 von 2/3 ist 1/2, und das ist weniger als 2/3.

Wie teilt man eine ganze Zahl durch einen Bruch?

Die ganze Zahl über 1 schreiben und mit dem Kehrwert multiplizieren: 3 ÷ 1/2 = 3 × 2 = 6, denn sechs Halbe passen in 3.

Wie wandelt man einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl um?

Den Zähler durch den Nenner teilen: Der Quotient ist die Ganze, der Rest ist der neue Zähler. 19/12 = 1 7/12.