Pourquoi inverse-t-on la seconde fraction quand on divise ?

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : multiplier le diviseur par son inverse le transforme en 1, et le dividende doit être multiplié par le même nombre. Par exemple 3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8 = 6.

Comment additionner des fractions qui n’ont pas le même dénominateur ?

Découpez les deux en parts de même taille grâce au plus petit commun multiple des dénominateurs, puis additionnez les numérateurs. 3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.

Que signifie 3/4 ÷ 1/8 ?

La question est : combien de parts de 1/8 rentrent dans 3/4 ? Six rentrent exactement, donc le résultat est 6.

Pourquoi une fraction multipliée par une fraction donne-t-elle un nombre plus petit ?

Multiplier par une fraction inférieure à 1 revient à ne prendre qu’une partie d’un nombre. Les 3/4 de 2/3 font 1/2, ce qui est moins que 2/3.

Comment diviser un nombre entier par une fraction ?

Écrivez le nombre entier sur 1 et multipliez par l’inverse : 3 ÷ 1/2 = 3 × 2 = 6, car six moitiés rentrent dans 3.

Comment transformer une fraction impropre en nombre fractionnaire ?

Divisez le numérateur par le dénominateur : le quotient est la partie entière et le reste est le nouveau numérateur. 19/12 = 1 7/12.

Fractions en images — pourquoi l’inverse ?

Saisissez une opération sur des fractions et voyez-la expliquée avec des images animées : dénominateur commun, modèle d’aire pour la multiplication, et pourquoi diviser revient à multiplier par l’inverse.

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Saisissez deux fractions et une opération, et l’image résout le calcul étape par étape : des barres sont découpées en parts égales pour trouver un dénominateur commun, un carré est colorié dans les deux sens pour la multiplication, et la division est montrée de trois façons, dont la raison pour laquelle on multiplie par l’inverse de la seconde fraction. Chaque étape s’accompagne d’une phrase à lire à voix haute et le calcul à côté change en même temps : un parent peut expliquer les devoirs en une minute.

Mode d’emploi

Choisissez « + Additionner », « − Soustraire », « × Multiplier » ou « ÷ Diviser » et saisissez la « Première fraction » et la « Seconde fraction », par exemple 3/4, 1 1/2 ou 2.
Appuyez sur « Étape suivante » et lisez la phrase à voix haute pendant que l’image change. « Étape précédente » revient en arrière, « Lire » enchaîne toutes les étapes et « Vitesse » règle le rythme.
Sous « Représentation », choisissez « Barres », « Disques » ou « Droite graduée » pour l’addition et la soustraction ; sous « Résultat sous forme de », choisissez « Nombre fractionnaire » ou « Fraction impropre ».
Pour la division, choisissez une « Méthode de division » : « Combien de fois ça rentre ? », « Dénominateur commun » ou « Pourquoi multiplier par l’inverse ».
Appuyez sur « Nouvelle opération » pour en obtenir une autre. Avec « Entraînement : répondre d’abord » coché, l’enfant saisit une réponse et appuie sur « Vérifier » avant que les étapes s’affichent.
« Plein écran » affiche l’image sur l’écran de la classe ; les touches fléchées, la barre d’espace et F fonctionnent aussi.

Fonctionnement

Toutes les valeurs sont exactes : numérateurs et dénominateurs sont des nombres entiers, les résultats sont simplifiés avec le plus grand commun diviseur, et aucun nombre décimal n’est utilisé. Les dénominateurs vont de 1 à 24 et chaque nombre jusqu’à 20 unités.
Les nombres fractionnaires sont d’abord écrits sous forme de fractions impropres : partie entière × dénominateur + numérateur. Une fraction comme 2/4 est dessinée telle qu’elle est saisie et simplifiée à la fin.
« Combien de fois ça rentre ? » passe à la vue dénominateur commun quand il faudrait disposer plus de 40 copies. La soustraction demande que la première fraction soit au moins aussi grande que la seconde.
La dernière opération et les représentations choisies sont retenues dans ce navigateur uniquement.

Pourquoi multiplie-t-on par l’inverse pour diviser des fractions ?

Écrivez la division sous forme d’une grande fraction : 3/4 en haut, 1/8 en bas. Multiplier le haut et le bas d’une fraction par le même nombre ne change pas sa valeur. Choisissez le nombre qui transforme le bas en 1, c’est-à-dire l’inverse 8/1, car 1/8 × 8 = 1. Le haut devient 3/4 × 8 = 6, et tout nombre divisé par 1 reste le même, donc 3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8 = 6.

Dans la vue « Pourquoi multiplier par l’inverse », les deux barres s’étirent du même facteur : la barre de 1/8 grandit jusqu’à exactement 1, et la barre de 3/4 grandit d’autant jusqu’à 6. La vue « Combien de fois ça rentre ? » vérifie le résultat autrement : six parts de 1/8 rentrent exactement dans 3/4.

La méthode du dénominateur commun donne le même résultat sans inverser : 3/4 = 6/8, et 6 huitièmes divisés par 1 huitième font 6 ÷ 1 = 6. Quand les parts ont la même taille, diviser des fractions revient simplement à diviser les nombres de parts.

Additionner des fractions de dénominateurs différents, en images

On ne peut compter des parts ensemble que si elles ont la même taille. Pour 3/4 + 5/6, les quarts et les sixièmes sont différents : on découpe donc les deux en douzièmes, car 12 est le plus petit nombre divisible à la fois par 4 et par 6. Chaque quart est découpé en 3, donc 3/4 = 9/12, et chaque sixième en 2, donc 5/6 = 10/12. Alors 9 + 10 = 19 douzièmes, soit 19/12 ou 1 7/12.

Une erreur fréquente consiste à additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 3/4 + 5/6 ne fait pas 8/10. L’image montre pourquoi : 8/10 est inférieur à 1, alors que 3/4 représente déjà presque une unité entière et que 5/6 en ajoute presque une autre.

À la fin, les parts sont regroupées en parts plus grandes quand c’est possible : c’est la simplification. 1/6 + 1/3 = 3/6, et regrouper les sixièmes deux par deux donne 1/2.

Multiplier des fractions avec le modèle d’aire

2/3 × 3/4 peut se lire « les 3/4 de 2/3 ». Le carré est découpé en 3 colonnes et 2 sont coloriées, ce qui fait 2/3. Puis il est découpé en 4 lignes et 3 sont hachurées. La partie coloriée et hachurée compte 2 × 3 = 6 petites parts, et le carré entier en compte 3 × 4 = 12, donc le produit est 6/12 = 1/2. Voilà pourquoi on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Avec un nombre entier ou un nombre fractionnaire, le modèle utilise plusieurs carrés : 1 1/2 × 2/3 s’étend sur deux carrés en largeur, et la partie commune coloriée compte 3 × 2 = 6 parts de 1/6, ce qui fait 1.

Questions fréquentes

Pourquoi inverse-t-on la seconde fraction quand on divise ?: Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : multiplier le diviseur par son inverse le transforme en 1, et le dividende doit être multiplié par le même nombre. Par exemple 3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8 = 6.
Comment additionner des fractions qui n’ont pas le même dénominateur ?: Découpez les deux en parts de même taille grâce au plus petit commun multiple des dénominateurs, puis additionnez les numérateurs. 3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.
Que signifie 3/4 ÷ 1/8 ?: La question est : combien de parts de 1/8 rentrent dans 3/4 ? Six rentrent exactement, donc le résultat est 6.
Pourquoi une fraction multipliée par une fraction donne-t-elle un nombre plus petit ?: Multiplier par une fraction inférieure à 1 revient à ne prendre qu’une partie d’un nombre. Les 3/4 de 2/3 font 1/2, ce qui est moins que 2/3.
Comment diviser un nombre entier par une fraction ?: Écrivez le nombre entier sur 1 et multipliez par l’inverse : 3 ÷ 1/2 = 3 × 2 = 6, car six moitiés rentrent dans 3.
Comment transformer une fraction impropre en nombre fractionnaire ?: Divisez le numérateur par le dénominateur : le quotient est la partie entière et le reste est le nouveau numérateur. 19/12 = 1 7/12.