分数运算图解 — 为什么除以分数要乘倒数

输入两个分数和一种运算，图会一步步把题算出来：分数条切成同样大小的小块来通分，乘法在正方形上横竖两次涂色，除法用三种方式演示，包括为什么要把第二个分数颠倒过来再相乘。每一步都有一句可以读出来的说明，旁边的算式也同时变化，家长一分钟内就能讲清作业。

使用方法

1. 选择“+ 加法”、“− 减法”、“× 乘法”或“÷ 除法”，输入“第一个分数”和“第二个分数”，例如 3/4、1 1/2 或 2。
2. 按“下一步”，在图变化时把那句话读出来。“上一步”可以退回，“播放”会演示全部步骤，“速度”控制快慢。
3. 做加减法时，在“图示”中选择“分数条”、“分数圆”或“数轴”；在“答案写成”中选择“带分数”或“假分数”。
4. 做除法时，选择一种“除法的思路”：“里面有几个？”、“通分后相除”或“为什么乘倒数”。
5. 按“换一题”出下一道题。勾选“练习：先自己算”后，孩子要先输入答案并按“检查”，才会显示步骤。
6. 按“全屏”可以把图显示在教室屏幕上；方向键、空格键和 F 键也可以用。

计算方式与说明

• 所有数值都是精确的：分子和分母都是整数，结果用最大公因数约分，从不使用小数。分母为 1 到 24，每个数最多 20 个整体。
• 带分数先化成假分数：整数部分 × 分母 + 分子。像 2/4 这样的分数会按输入的样子画出，到最后再约分。
• 需要摆开的份数超过 40 份时，“里面有几个？”会改用通分的方式演示。减法要求第一个分数不小于第二个分数。
• 上一道题和所选的图示只记在此浏览器中。

分数除法为什么要乘倒数？

把除法写成一个大分数：3/4 在上，1/8 在下。分数的上下同时乘同一个数，大小不变。选一个让下面变成 1 的数，也就是倒数 8/1，因为 1/8 × 8 = 1。上面变成 3/4 × 8 = 6，而任何数除以 1 都等于它本身，所以 3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8 = 6。

在“为什么乘倒数”的演示中，两根分数条按同样的倍数伸长：1/8 的分数条正好伸长到 1，3/4 的分数条也按同样的倍数伸长到 6。“里面有几个？”的演示从另一个角度验证答案：6 个 1/8 正好放满 3/4。

通分的方法不用颠倒也能得到同样的结果：3/4 = 6/8，6 个八分之一除以 1 个八分之一就是 6 ÷ 1 = 6。小块大小相同时，分数除法就是块数相除。

异分母分数加法图解

只有大小相同的小块才能放在一起数。3/4 + 5/6 中，四分之一和六分之一大小不同，所以都切成十二分之一，因为 12 是 4 和 6 的最小公倍数。每个四分之一切成 3 块，所以 3/4 = 9/12；每个六分之一切成 2 块，所以 5/6 = 10/12。于是 9 + 10 = 19 个十二分之一，就是 19/12，也就是 1 7/12。

常见的错误是分子加分子、分母加分母：3/4 + 5/6 不等于 8/10。图能说明原因：8/10 比 1 小，可是光 3/4 就已经接近一个整体，5/6 又差不多再加上一个整体。

最后，能合并的小块会合成大块，这就是约分。1/6 + 1/3 = 3/6，把六分之一两块两块地合起来，就得到 1/2。

用面积模型讲分数乘法

2/3 × 3/4 可以理解为 2/3 的 3/4。把正方形竖着分成 3 列，涂其中 2 列，这就是 2/3。再横着分成 4 行，在其中 3 行画斜线。两种都画到的部分有 2 × 3 = 6 个小格，整个正方形有 3 × 4 = 12 个小格，所以积是 6/12 = 1/2。这就是分子乘分子、分母乘分母的原因。

遇到整数或带分数时，模型会用几个正方形：1 1/2 × 2/3 横跨两个正方形，重叠涂色的部分是 3 × 2 = 6 个大小为 1/6 的小格，也就是 1。

常见问题

分数除法为什么要把第二个分数颠倒过来？

除以一个分数等于乘它的倒数，因为除数乘它的倒数就变成 1，而被除数也必须乘同一个数。例如 3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8 = 6。

异分母分数怎么相加？

用分母的最小公倍数把两个分数都切成同样大小的小块，再把分子相加。3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12。

3/4 ÷ 1/8 是什么意思？

它问的是 3/4 里面有几个 1/8。正好有 6 个，所以答案是 6。

为什么分数乘分数结果会变小？

乘一个小于 1 的分数，只是取这个数的一部分。2/3 的 3/4 是 1/2，比 2/3 小。

整数除以分数怎么算？

把整数写成分母为 1 的分数，再乘除数的倒数：3 ÷ 1/2 = 3 × 2 = 6，因为 3 里面有 6 个二分之一。

假分数怎么化成带分数？

用分子除以分母：商是整数部分，余数是新的分子。19/12 = 1 7/12。