积分计算器

用数值方法计算定积分，并在图像上用阴影标出面积；还能求常见形式的原函数，并显示计算过程。可以用来核对积分作业，或求曲线下的面积。

使用方法

1. 把函数输入“函数 f”，例如 x^2 - 1，并确认“识别为”是否正确。
2. 在“定积分”标签页输入“下限 a”和“上限 b”。无穷大写作 inf 或 -inf。
3. 结果会显示积分值以及轴上方和下方的面积；如果求出了原函数，还会显示 F(b) − F(a) 的计算过程。
4. 在“原函数”标签页查看结果和“步骤：所用公式和换元”。

计算方式与说明

• 定积分是用自适应 Gauss–Kronrod 求积（QUADPACK 中的 7 点和 15 点规则）得到的数值，并附有估计误差。
• 对于积分限为无穷大或函数在某点无界的反常积分，是否收敛是用数值方法判断的，所以请把结果视为估计值。
• 原函数涵盖常见形式：多项式、指数和对数、基本三角形式、简单换元、基本分部积分和部分分式。每个结果在显示前都会求导回去检查。
• e^(-x^2) 或 sin(x)/x 这样的函数没有初等原函数，但它们的定积分仍然可以计算。

常见问题

定积分就是面积吗？

不是。定积分把轴下方的面积算作负值。例如，x^2 - 1 从 0 到 2 的积分是 2/3，而曲线与轴之间的总面积是 2。

不定积分为什么要加 C？

常数的导数是 0，所以给 F(x) 加上任何常数，导数都一样。因此原函数写作 F(x) + C。

会显示换元积分和分部积分的过程吗？

会。2x cos(x^2) 这样的简单换元，以及 x e^x 或 x^n ln x 这样的基本分部积分，都会显示所用的方法和换元。

为什么提示不支持这种形式？

这个函数超出了支持的形式，或者没有初等原函数。点击“转到定积分”并输入积分限，即可得到数值结果。