Integralrechner
Bestimmte Integrale mit schraffierter Fläche berechnen und Stammfunktionen gängiger Formen finden
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Berechnet bestimmte Integrale numerisch und schattiert die Fläche in einem Graphen, und findet Stammfunktionen gängiger Formen mit Rechenweg. Nutzen Sie es, um Hausaufgaben zur Integration zu kontrollieren oder die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen.
So geht’s
- Geben Sie die Funktion in „Funktion f“ ein, zum Beispiel x^2 - 1, und prüfen Sie, ob „Gelesen als“ stimmt.
- Geben Sie auf dem Tab „Bestimmtes Integral“ die „Untere Grenze a“ und die „Obere Grenze b“ ein. Für unendlich schreiben Sie inf oder -inf.
- Der Wert erscheint zusammen mit den Flächen über und unter der Achse und, wenn eine Stammfunktion gefunden wird, mit der Rechnung F(b) − F(a).
- Lesen Sie auf dem Tab „Stammfunktion“ das Ergebnis und den „Rechenweg: verwendete Formeln und Substitutionen“.
So wird gerechnet
- Das bestimmte Integral ist ein numerischer Wert aus der adaptiven Gauß-Kronrod-Quadratur (die 7- und 15-Punkt-Regeln aus QUADPACK) und wird mit seinem geschätzten Fehler angezeigt.
- Bei uneigentlichen Integralen mit einer unendlichen Grenze oder einer Stelle, an der die Funktion unbeschränkt ist, wird die Konvergenz numerisch beurteilt; betrachten Sie das Ergebnis daher als Schätzung.
- Stammfunktionen werden für gängige Formen gefunden: Polynome, Exponential- und Logarithmusfunktionen, einfache trigonometrische Formen, einfache Substitutionen, einfache partielle Integration und Partialbruchzerlegung. Jedes Ergebnis wird vor der Anzeige zurück abgeleitet und geprüft.
- Funktionen wie e^(-x^2) oder sin(x)/x haben keine elementare Stammfunktion, ihre bestimmten Integrale lassen sich aber trotzdem berechnen.
Häufige Fragen
- Ist ein bestimmtes Integral dasselbe wie die Fläche?
- Nein. Ein bestimmtes Integral zählt Flächen unter der Achse negativ. Das Integral von x^2 - 1 von 0 bis 2 ist zum Beispiel 2/3, während die gesamte Fläche zwischen Kurve und Achse 2 beträgt.
- Warum steht bei einer Stammfunktion + C?
- Die Ableitung einer Konstante ist 0, daher ergibt jede zu F(x) addierte Konstante dieselbe Ableitung. Deshalb schreibt man eine Stammfunktion als F(x) + C.
- Zeigt es Substitution und partielle Integration?
- Ja. Einfache Substitutionen wie bei 2x cos(x^2) und einfache partielle Integration wie bei x e^x oder x^n ln x werden mit der verwendeten Methode und Substitution angezeigt.
- Warum heißt es, die Form werde nicht unterstützt?
- Die Funktion liegt außerhalb der unterstützten Formen oder hat keine elementare Stammfunktion. Drücken Sie „Zum bestimmten Integral“ und geben Sie Grenzen ein, um einen numerischen Wert zu erhalten.