Калькулятор интегралов
Вычисляет определённые интегралы с закрашенной площадью и находит первообразные типовых функций
Загрузка инструмента…
Вычисляет определённые интегралы численно с закрашенной на графике площадью и находит первообразные типовых функций с ходом решения. Пригодится, чтобы проверить домашнее задание по интегрированию или найти площадь под кривой.
Как пользоваться
- Введите функцию в поле «Функция f», например x^2 - 1, и проверьте, что в «Прочитано как» всё верно.
- На вкладке «Определённый интеграл» введите «Нижний предел a» и «Верхний предел b». Для бесконечности пишите inf или -inf.
- Значение появляется вместе с площадями над и под осью, а если первообразная найдена — и с вычислением F(b) − F(a).
- На вкладке «Первообразная» посмотрите результат и «Решение: использованные формулы и замены».
Как это работает
- Определённый интеграл — это численное значение, полученное адаптивной квадратурой Гаусса–Кронрода (правила на 7 и 15 точек из QUADPACK); оно показывается вместе с оценкой погрешности.
- Для несобственных интегралов — с бесконечным пределом или точкой, где функция не ограничена, — сходимость оценивается численно, поэтому считайте результат приблизительным.
- Первообразные находятся для типовых случаев: многочлены, показательные функции и логарифмы, основные тригонометрические выражения, простые замены, простое интегрирование по частям и простейшие дроби. Перед показом каждый результат дифференцируется обратно и проверяется.
- У таких функций, как e^(-x^2) или sin(x)/x, нет элементарной первообразной, но их определённые интегралы всё равно можно вычислить.
Частые вопросы
- Определённый интеграл — это то же самое, что площадь?
- Нет. В определённом интеграле площадь под осью считается со знаком минус. Например, интеграл x^2 - 1 от 0 до 2 равен 2/3, а полная площадь между кривой и осью равна 2.
- Зачем в первообразной + C?
- Производная константы равна 0, поэтому если прибавить к F(x) любую константу, производная не изменится. Поэтому первообразную записывают как F(x) + C.
- Показывает ли калькулятор замену переменной и интегрирование по частям?
- Да. Простые замены, например для 2x cos(x^2), и простое интегрирование по частям, например для x e^x или x^n ln x, показываются с указанием метода и использованной замены.
- Почему пишет, что вид функции не поддерживается?
- Функция не относится к поддерживаемым видам или у неё нет элементарной первообразной. Нажмите «Перейти к определённому интегралу» и введите пределы, чтобы получить численное значение.