積分計算

定積分を数値で計算してその面積をグラフに塗って示し、よくある形の不定積分を途中式付きで求めます。積分の宿題を確かめたいときや、曲線の下の面積を求めたいときに使えます。

使い方

1. 「関数 f」に、たとえばx^2 - 1のように関数を入力し、「読み取り結果」が正しいか確認します。
2. 「定積分」タブで「下端 a」と「上端 b」を入力します。無限大はinfまたは-infと書きます。
3. 値とともに、軸より上と下の面積、不定積分が見つかった場合はF(b) − F(a)の計算過程が表示されます。
4. 「不定積分」タブで、結果と「途中式：使った公式と置換」を読みます。

計算方法と補足

• 定積分は、適応型ガウス・クロンロッド求積法（QUADPACKの7点則と15点則）による数値で、推定誤差とともに表示します。
• 積分範囲が無限大の場合や関数が非有界になる点がある広義積分では、収束を数値的に判定しているため、結果は推定値として扱ってください。
• 不定積分は、多項式、指数関数と対数関数、基本的な三角関数の形、簡単な置換積分、基本的な部分積分、部分分数分解といったよくある形に対応しています。各結果は表示する前に微分して元に戻るか確認しています。
• e^(-x^2)やsin(x)/xのような関数には初等関数で表せる不定積分がありませんが、定積分は計算できます。

よくある質問

定積分は面積と同じですか？

いいえ。定積分では、軸より下の面積をマイナスとして数えます。たとえば、x^2 - 1を0から2まで積分すると2/3ですが、曲線と軸の間の面積の合計は2です。

不定積分に+ Cが付くのはなぜですか？

定数の導関数は0なので、F(x)にどんな定数を足しても導関数は同じになります。そのため、不定積分はF(x) + Cと書きます。

置換積分や部分積分も表示されますか？

はい。2x cos(x^2)のような簡単な置換積分や、x e^xやx^n ln xのような基本的な部分積分は、使った方法と置換とともに表示されます。

対応していない形と表示されるのはなぜですか？

関数が対応している形に当てはまらないか、初等関数で表せる不定積分がありません。「定積分へ」を押して積分範囲を入力すると、数値が得られます。