Quadratische Gleichungen lösen (Mitternachtsformel, abc-Formel)
ax² + bx + c = 0 mit der Mitternachtsformel lösen – mit Rechenweg, exakten Lösungen und Graph
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Löst ax² + bx + c = 0 mit der Mitternachtsformel und zeigt exakte Lösungen wie (−3 ± √17)/4 mit Dezimalwerten sowie Diskriminante, Scheitelpunkt, Graph und Rechenweg.
So geht’s
- Geben Sie die Gleichung in „Gleichung“ ein, zum Beispiel x^2 - 5x + 6 = 0, oder tragen Sie die Koeffizienten bei a, b und c ein. Brüche und Dezimalzahlen funktionieren.
- Lesen Sie die Lösungen unter „Lösung“ ab, zusammen mit der Diskriminante, der Art der Lösungen sowie ihrer Summe und ihrem Produkt.
- Wählen Sie unter „Rechenweg“ „Mitternachtsformel (abc-Formel)“, „Faktorisieren“ oder „Quadratische Ergänzung“, um die Rechnung zu sehen.
- Der „Graph“ markiert die Nullstellen und den Scheitelpunkt; „Eigenschaften von Graph und Lösungen“ listet Scheitelpunkt, Symmetrieachse, y-Achsenabschnitt und Scheitelpunktform auf.
So wird gerechnet
- x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, mit der Diskriminante D = b² − 4ac. D > 0 ergibt zwei reelle Lösungen, D = 0 eine doppelte Lösung, D < 0 zwei komplexe Lösungen.
- Die Lösungen werden exakt berechnet und vollständig vereinfacht; komplexe Lösungen verwenden i.
- Ist a = 0, wird die Gleichung als lineare Gleichung gelöst. Gleichungen dritten oder höheren Grades oder mit zwei Variablen werden nicht gelöst.
Häufige Fragen
- Wie lautet die Mitternachtsformel?
- Für ax² + bx + c = 0 gilt x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Für x² − 5x + 6 = 0 ergibt das x = (5 ± 1) ÷ 2, also x = 2 oder 3.
- Was sagt die Diskriminante aus?
- Die Anzahl der reellen Lösungen: zwei, wenn b² − 4ac positiv ist, eine doppelte Lösung, wenn es 0 ist, und keine (zwei komplexe Lösungen), wenn es negativ ist.
- Gibt es eine vereinfachte Formel, wenn b gerade ist?
- Ja. Mit b = 2b' gilt x = (−b' ± √(b'² − ac)) ÷ a. Ist b gerade, enthält der Rechenweg zur „Mitternachtsformel (abc-Formel)“ sie unter „Vereinfachte Formel für gerades b“.
- Wie berechnet man den Scheitelpunkt einer Parabel?
- Seine x-Koordinate ist −b ÷ 2a; setzen Sie sie in die Gleichung ein, um die y-Koordinate zu erhalten. Für y = x² − 4x + 3 ist der Scheitelpunkt (2, −1).